Komerční prezentace
Registrace uživatele

Přihlašte se k odběru informací, novinek, získejte přístup do diskuzního fóra.

Vesmír č. 10
Vesmír č. 10
Toto číslo vychází
2. 10. 2017
Novinky
Zdarma jedno celé číslo Vesmíru v pdf.
• Říjnové číslo Vesmíru
reklama

Poezie matematiky Petra Vopěnky

 

Publikováno: Vesmír 94, 342, 2015/6
Obor: Biografie

Vidíme, že ve vědách i ve všech ostatních oblastech nepřinášejí pokrok ti, kdo lpějí na ustáleném stavu věcí, nýbrž ti, kdo se odvažují stále měnit vše, co není v pořádku.

Motto z Isokrata, které si Bolzano vybral ke své první vědecké práci v roce 1804.

Petr Vopěnka (16. května 1935 – 20. března 2015) byl brilantní matematik, svérázný filosof a odvážný myslitel. V celém svém životě tvrdošíjně hledal pravdu a stál za ní i navzdory různým překážkám a nepřízni osudu. Matematiku, která se někomu může zdát suchá, uměl oživit a předvést dobrodružství ducha, které se v ní skrývá. Zabýval se odbornou matematikou, „tvrdou vědou“, ale zároveň studoval a zkoumal staré matematiky a filosofy a interpretoval je způsobem živým a neobvyklým, někdy až poetickým. Ve svých knihách užíval krásnou řeč a ve spleti jevů světa hledal řád, který by vyzdvihl a popsal. Přestože se během života zabýval různými oblastmi vědění – a šlo vskutku o bádání ve smyslu hledání a odkrývání pravdy –, jeho cesta byla logická a propojená s životem. V době totality nesměl veřejně přednášet, ale nedal se zlomit, pomáhal pronásledovaným, organizoval veřejný nezávislý seminář. Po revoluci působil dva roky jako ministr školství.

Petr Vopěnka byl posledním studentem významného českého matematika Eduarda Čecha, pod jehož vlivem se zpočátku zabýval topologií, svoji diplomovou práci psal o teorii dimenze. Brzy se Vopěnkova pozornost obrátila k teorii množin. Soustředil kolem sebe a nadchl skupinu mladých talentovaných matematiků. Tehdejší pražská množinová škola držela krok se světovou matematikou, výsledky, kterých Vopěnka dosáhl, jsou světově uznávány. Zabýval se nedosažitelnými kardinálními čísly, nestandardními modely teorie množin a forcingem. Vymyslel postup – zprvu jako žert –, jak popsat další, ještě větší nedosažitelné kardinální číslo. Postupně se však ukázalo, že tento postup není sporný a překvapivě se stal známý jako Vopěnkův princip a Vopěnkovo kardinální číslo.

Po šedesátém osmém roce se skupina soustředěná kolem jeho osoby rozpadla, část lidí emigrovala, část se přiklonila k informatice. Petr Vopěnka se začíná zabývat filosofickou podstatou teorie množin. Znepokojuje ho aktuální nekonečno, na jehož předpokladu je existence teorie množin postavená, a začíná hledat vlastní cestu. Společně s Petrem Hájkem zavádějí pojem polomnožiny a společně vydávají The Theory of Semisets,1) která je ještě zakotvena v klasické teorii množin. Společná cesta dvou úctyhodných mužů se rozchází, oba však pokračují dále v matematizaci neurčitosti. Hájek později vytvoří pevný matematický základ pro fuzzy-logiku. Vopěnka založí alternativní teorii množin. Činí tento odvážný krok navzdory celé matematické komunitě, která je zvyklá přemýšlet a komunikovat na poli klasické teorie množin.

Byla to alternativa vůči Cantorově teorii množin, která vznikla na konci 19. století, slouží k matematickému zachycení nekonečna a je formálním základem a také jazykem moderní matematiky. Jedním z nejdůležitějších axiomů teorie množin je zformalizované tvrzení: Přirozená čísla tvoří množinu. To znamená, že existuje aktuálně nekonečná množina. Tím je kladně vyjádřeno řešení sporu matematiků, filosofů a teologů o existenci aktuálního nekonečna, který trvá už dva a půl tisíce let. Georg Cantor zdůvodnil tento axiom teologicky. Přidá-li se k němu ještě axiom potence, který říká, že soubor všech podmnožin tvoří množinu, dostaneme jako nutný důsledek neuvěřitelně důmyslnou a složitou stavbu nekonečných kardinálních a ordinálních čísel. Petr Vopěnka se v této stavbě dobře vyznal, rozšířil ji, přistavěl další věžičky. Byl si vědom krásy a zároveň problematičnosti této stavby, která se pne do nebes, ale nemá téměř žádnou oporu v reálném světě. Nazval ji babylónskou věží či chrámem novobarokní matematiky a hledal vůči ní alternativu.

Vopěnka se inspiroval nestandardními modely čísel vytvořenými pomocí ultraproduktu, a se skupinkou spolupracovníků vytvořil základy alternativní teorie množin.2) Filosoficky je postavena na zcela odlišném základu než Cantorova teorie. Vopěnka se opírá o fenomenologii, jež má v Praze tradici díky Janu Patočkovi a jeho žákům. Odvolává se na Husserlův princip všech principů3) a na heslo Návrat k jevům samým. Snaží se vycházet z přirozeného světa a z lidského pohledu na něj. Klíčový je pojem obzoru, který je matematicky zachycen pomocí polomnožin, tedy souborů, které nejsou jasně ohraničené a přesně vymezené. Přirozená čísla jsou typickým příkladem polomnožiny, nikoli množiny. Nekonečno je chápáno jako idealizace neurčitosti, a díky tomu nachází interpretaci v reálném světě.

Zároveň Vopěnka zkoumá díla dřívějších učenců a sleduje zejména dvě myšlenkové linie. Jednak to je vývoj geometrických idejí od otevření geometrického světa v antice až po vytvoření neeuklidovských geometrií v 19. století. Čtyři Rozpravy s geometrií jsou shrnuty do monumetální knihy Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci.4) Druhá linie sleduje pokusy o uchopení nekonečna od barokních myslitelů až po Bolzana a je zachycena v knize s názvem Podivuhodný květ českého baroka.5) Po doplnění o historii a vývoj teorie množin od Cantora až po šedesátá léta 20. století vznikla další a stejně úctyhodná kniha Vyprávění o kráse novobarokní matematiky.6) Nejedná se o žádný suchý dějepis, Vopěnka měl zvláštní schopnost ponořit se do starých děl, vdechnout jim život a propojit je nevšedními souvislostmi.

Obzvláště myšlenkově blízký byl Petrovi Vopěnkovi matematik, filosof a teolog Bernard Bolzano. Sdílel s ním nejen osud člověka nespravedlivě odstaveného na vedlejší kolej, ale zejména pronikavost myšlení, nepoddajné a svébytné hledání pravdy a zájem o nekonečno. Vopěnka nalezl a ocenil mnohé poklady Bolzanova díla: důkaz existence nekonečné množiny pravd o sobě, analytický důkaz věty o mezihodnotě, příklad spojité funkce bez derivace.

Z Paradoxů nekonečna často citoval Bolzanovu radu: Kde se v nějaké podobě vyskytuje nekonečno, tam hledejte množství, na jehož struktuře se tato podoba nekonečna ukazuje. Ve svém novém pojetí ji Vopěnka parafrázoval: Kde se vyskytuje neostrost, tam hledejte obzor a přirozené nekonečno, jimiž je tato neostrost vyvolána; tuto situaci pak idealizujte!7)

Alternativní teorie množin zatím neprorazila. Jednak je opravdu jiná než klasická teorie množin, jednak nepřináší převratné výsledky pro svět před obzorem. Liší se teprve ve světě za obzorem. Zde je zbavena zátěže novobarokní matematiky v podobě množství kardinálních a ordinálních čísel. Neobsahuje zjevně protiintuitivní tvrzení a paradoxy jako klasická teorie množin.8) Důležitý diferenciální a integrální počet lze přirozeně vyjádřit pomocí nekonečně malých veličin, jak Vopěnka předvedl ve dvou svazcích Calculus infinitesimalis.9)

Přesto s ní Petr Vopěnka nebyl zcela spokojený. Opětovně se k ní vracel a vytvářel její lepší varianty. Stále ještě mu připadala příliš zatěžkaná nánosy starého myšlení a již vybudovanými pojmy. Snažil se sáhnout do větší hloubky a ze spleti jevů světa vytáhnout a očistit – abstrahovat – pojmy nové, které by byly vhodnější pro vybudování základů pro uchopení nekonečna. Definitivně poslední verze, kterou ještě stačil dokončit, je postupně vydávána v nakladatelství Karolinum pod názvem Nová infinitní matematika.10) V nakladatelství Springer je připraven k vydání též její anglický překlad.

Otázka existence množiny přirozených čísel je pro teorii množin klíčová. Vopěnka se jí důkladně zabýval, znal filosofické a historické argumenty, ale hledal též zdůvodnění čistě matematické. Ke konci života nalezl a sepsal matematický důkaz neexistence množiny přirozených čísel. Úvod k němu zde přinášíme. Jeho plné znění naleznete na www.vesmir.cz.

Literatura

 

Poznámky

1) Vopěnka P., Hájek P.: The Theory of Semisets, Academia – North-Holland Publ. Co., Praha – Amsterdam 1972.

2) Vopěnka P.: Mathematics in the Alternative Set Theory, Teubner Texte, Leipzig 1979. Vopěnka P.: Úvod do matematiky v alternatívnej teórii množín, Alfa, Bratislava 1989.

3) Pramenem všeho poznání a vší pravdy je danost, a to taková, která jev podává v jeho původní podobě, to je zření jevu tak a jenom tak, jak je nám dán. Tento pramen poznání musí být vytěžen z toho, co zření jako takového dává a co jenom dává. Vopěnka P.: Meditace o základech vědy, Práh, Praha 2001, s. 57.

4) Vopěnka P.: Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci, Práh, Praha 2001.

5) Vopěnka P.: Podivuhodný květ českého baroka, Karolinum, Praha 1998.

6) Vopěnka P.: Vyprávění o kráse novobarokní matematiky, Práh, Praha 2004.

7) Vopěnka P.: Prolegomena, Karolinum, Praha 2014, s. 42.

8) V Cantorově teorii množin musíme přistoupit na to, že jakkoli krátká úsečka obsahuje stejně bodů jako celý trojrozměrný vesmír. Banach-Tarského paradox ukazuje, že kouli lze rozřezat a poskládat na dvě koule stejně velké.

9) Vopěnka P.: Calculus infinitesimalis, Pars prima, Pars secunda, OPS, www.o-p-s.cz, 2010, 2011.

10) První díl již vyšel: Vopěnka P.: Prolegomena, Karolinum, Praha 2014.

Citát

 

Soubory

článek ve formátu pdf: V201506_342-343.pdf (239 kB)

Diskuse

Žádné příspěvky