Od světa geometrického k světu digitálnímu

Citované motto napsal Bolzano v době, kdy se matematika začala rozcházet – ke škodě pro obě strany – s filozofií. Říkává se, že do té doby bývali všichni velcí matematici současně i filozofy a všichni velcí filozofové se zabývali i problémy matematickými. Není to však formulace přesná, protože to vypadá, jako by někdy byli filozofy a jindy zase matematiky. Ne, takové dělení, takovou specializaci neznali, byli obojí současně a nerozdělitelně.

Tato nerozdělitelná jednota matematiky a filozofie se zrodila v počátcích naší kultury. Thales byl prvním řeckým filozofem i matematikem, který žil na počátku toho, čemu se říká řecký zázrak – zázrak, z nějž ve spojení s křesťanstvím pak rozkvetla naše kultura a civilizace. Říká se, že řecký zázrak byl výsledkem údivu nad nesamozřejmostí samozřejmého. Samozřejmým se ovšem rozumělo to, co bylo samozřejmé pro Řeky, údiv nad nesamozřejmostí pak pocházel z poznání, že jiní lidé, jiní národové, za samozřejmé pokládají něco zcela jiného – většinou nehorázně pitomého. Položili si otázku, kdo má pravdu, a odpověděli na ni prostě: přece my. To by ovšem žádný zázrak nebyl, zázrakem bylo něco zcela jiného a jinde nevídaného. Oni se totiž svou odpověď rozhodli zdůvodnit. Vynalezli dokazování, dedukci, a za pravé poznání prohlásili zdůvodněné pravdivé přesvědčení, epistémé; vše ostatní bylo pouhé mínění, doxa.

Základní myšlenka byla – když už ji známe – vlastně velmi prostá: najdeme několik tak jednoduchých samozřejmých pravd, že o nich nikdo, kdo je aspoň trochu soudný, nebude moci pochybovat, a veškeré ostatní vědění z těchto několika počátků odvodíme neomylnou a jistou logikou. Kdo přijme tyto počátky a bude dodržovat pravidla správného uvažování, logiky, bude muset přijmout i naši pravdu. Co už může být samozřejmějšího a jistějšího, než že dva různé body lze spojit úsečkou, že jsou-li dvě věci rovné nějaké věci třetí, jsou si rovny, nebo jsou-li všichni lidé smrtelní a Sokrates je člověk, pak i on je smrtelný. Tak vznikla první přísná (deduktivní) věda: geometrie. A spolu s ní i kritický racionalizmus.

Řecká geometrie se stala vzorem pro všechny další vědy až dodnes. Všechny měly být budovány po (deduktivním) vzoru geometrie, geometrickým způsobem, more geometrico. A nejen to: geometrie byla tím nejjistějším neotřesitelným základem, na němž se budovala celá stavba matematiky a dalších věd. Zkrátka: geometrie se stala úhelným kamenem evropské vzdělanosti a moci.

Tak se také jmenuje kniha, v níž Petr Vopěnka provedl hlubinnou analýzu vzniku geometrie, jejích různých pojetí a proměn, až do okamžiku, kdy byla rozpoznána nesamozřejmost i oněch nejjednodušších, naprosto samozřejmých počátků, tj. do objevu jiných, neeukleidovských geometrií. Právě tento poslední objev se stal trýznivým tajemstvím (což je název další knihy Petra Vopěnky).

V době Bolzanově přestala být geometrie tím, čím bývala, a to nejen z důvodu objevu geometrií alternativních. Přestala sloužit i jako základ tehdy nejdůležitější matematické disciplíny – analýzy, tj. diferenciálního a inte-grálního počtu. Začala klamat a zklamávat svou názorností.

Náhrada byla po ruce: aritmetika. Ukázalo se však, že to nebude tak jednoduché; prostě proto, že nevíme, co je to číslo, počet, 1, 2, 3, … Všechny dosavadní definice byly logicky vadné, všechny předpokládaly skrytě to, co se teprve mělo dokázat. To nebyla otázka matematická, ba v té době ani logická; byla to otázka filozofická. Když ji G. Frege se vší vážností položil, když ji navíc prohlásil za otázku špatnou, museli ho všichni současníci – až na několik velice významných výjimek – pokládat za blázna.

A přesto tato zdánlivě zcela absurdní otázka vedla k naprosté revoluci. Gottlob Frege nejen založil matematickou logiku, která po dvou tisíciletích nahradila starou nedotknutelnou logiku Aristotelovu, nejen se svým obratem k jazyku stal zakladatelem možná nejvlivnějšího proudu filozofie dvacátého století, tj. filozofie analytické, nejen svou kritikou Husserlova pojetí aritmetiky přiměl tohoto myslitele k objevu jiného významného proudu filozofie dvacátého století, totiž fenomenologie, nýbrž ve svých důsledcích proměnil zcela náš svět: po tisíciletích se ze světa geometrického stal svět digitální, digitalizovaný.

Fregeho matematická logika ve spojení s Cantorovou teorií množin se stala oním novým základem matematiky. Obojí rozkvetlo do nebývalé krásy a dokonalosti, obojí se však střetlo a střetává s neřešitelnými problémy. Nemáme jednu teorii množin, ale mnoho, navzájem neslučitelných. A ani s logikou si nemůžeme být tak jisti.

Petr Vopěnka zasáhl významně do obou oblastí – matematické logiky i teorie množin. Dosáhl i toho, po čem matematici (a nejen oni) tak touží: byly po něm pojmenovány objekty matematického zkoumání i věty o nich. V reakci na potíže Cantorovy teorie množin vytvořil alternativní teorii, jejímž cílem je – hodně stručně řečeno – návrat k přirozenému pojímání nekonečna. Současně však dokázal filozoficko-matematicky celé toto počínání reflektovat. Ještě letos vyjdou jeho Rozpravy o teorii množin.

Právě za toto obnovené spojení matematiky i filozofie, za to, že měl odvahu položit si otázku, co to vlastně děláme, a hledat na ni odpověď, se 5. října stal šestým laureátem ceny Nadace Dagmar a Václava Havlových VIZE 97.