Komerční prezentace
Registrace uživatele

Přihlašte se k odběru informací, novinek, získejte přístup do diskuzního fóra.

Vesmír č. 6
Vesmír č. 6
Toto číslo vychází
4. 6. 2017
Novinky
Zdarma jedno celé číslo Vesmíru v pdf.
• Červnové číslo Vesmíru

Nejdéle trvající vědecký experiment

Smát se a myslet

a jeho poselství pro mechaniku kontinua

Publikováno: Vesmír 91, 502, 2012/9
Obor: Fyzika

Patrně nikdo by neměl mít potíže odhadnout, který vědecký experiment se může pyšnit přídomky největší a nejnákladnější. Ano, oba tituly si patrně přisvojí projekt Large Hadron Collider provozovaný Evropskou organizací pro jaderný výzkum (CERN). Když si však položíme otázku, jaký je nejdéle trvající vědecký experiment, budeme muset hledat důkladněji. A zdá se, že titul bude patřit experimentu Kapka asfaltu, který od roku 1927 běží na University of Queensland v Brisbane.1) Experiment je to vskutku časově velmi náročný a nudný. V roce 1927 experimentátoři rozbili kladivem na drobné střípky válec z asfaltu, vše vložili do zaslepeného skleněného trychtýře, chvíli – několik let – počkali, odstranili dno trychtýře a od té doby sledují, jak asfalt teče skrze trychtýř a kape na podložku. Významná událost, odtržení kapky, nastává zhruba jednou za osm let.

Podivný experiment samozřejmě neunikl pozornosti vědecké obce a v roce 2005 si vysloužil významné ocenění Ig Nobel Prize,2) což je jakási recesistická obdoba Nobelovy ceny. Cena je udělována za objevy typu Proč datla nebolí hlava, když bez přestání bije zobákem do stromů. Heslem ceny je Research that makes people laugh and then think, tedy Výzkum, který nás přinutí smát se a pak myslet a mezi vědci oceněnými Ig Nobel Prize kupodivu nechybí ani držitelé opravdových Nobelových cen. Co je tedy na kapce asfaltu tak zábavného a přitom znepokojujícího?

Nenewtonovské tekutiny

Když v předminulém století vznikala mechanika kontinua, tedy popis spojitého prostředí v rámci klasické, rozuměj newtonovské mechaniky, byly hlavním předmětem zájmu materiály, jako jsou voda a vzduch. Pro matematický popis proudění nestlačitelných tekutin byly odvozeny takzvané Navierovy-Stokesovy rovnice a v podstatě panovalo přesvědčení, že tyto rovnice jsou postačující pro popis proudění jakékoliv nestlačitelné tekutiny.

Ukázalo se však, že toto přesvědčení je poněkud neopodstatněné. Jednak začalo být zřejmé, že v některých tekutinách dochází k jevům, které v principu není možné těmito rovnicemi zachytit, jednak dodnes není zcela jasné, zda Navierovy-Stokesovy rovnice mají v obecném případě „rozumné“ či jednoznačně určené řešení. Otázka existence řešení v obecném případě3 je těžký matematický problém, který odolává již téměř jedno století. Přitom je to problém zásadní. Řešení rovnic se ve složitějších případech hledá numerickými (přibližnými) metodami a seriózní badatelé by například rádi věděli, že objekt, to jest přesné řešení, k němuž se snaží přiblížit, existuje a je dobře, tedy jednoznačně, určen.

Opusťme však matematické otázky a zabývejme se fyzikální stránkou problému. Malířské barvy, zubní pasta, taveniny polymerů, roztoky obsahující dlouhé molekulární řetězce, tekuté krystaly a samozřejmě v úvodu zmíněný asfalt, to všechno jsou příklady tekutin, pro které je popis pomocí Navierových- Stokesových rovnic naprosto nevhodný. Proč?

Některé malířské barvy kupříkladu mají tu vlastnost, že se snadno roztírají, pokud se štětec pohybuje dostatečně rychle. Naopak pokud se štětec pohybuje pomalu, barva mu klade vyšší odpor. To je samozřejmě žádoucí chování. Barva se dobře nanáší, je velmi tekutá při rychlé práci se štětcem a je tužší při pomalém působení jiných sil, nestéká kupříkladu samovolně po stěnách. Mimochodem, opačného efektu – totiž rostoucí tuhosti materiálu se vzrůstající rychlostí silových působení – se v poslední době začíná využívat v takzvaném tekutém pancíři či brnění (liquid armor). Neprůstřelná vesta z takového materiálu je ideálním ochranným prostředkem. V běžných situacích je měkká (tekutá) a nijak tedy neomezuje pohyblivost, v případě zasažení rychle letícím projektilem se okamžitě zpevní.

Zubní pasta je příkladem tekutiny, která začne téci teprve v okamžiku, kdy na ní působí dostatečně velká síla. Povšimněte si, že když je pasta vytlačována z tuby, střed pasty je unášen proudem jako celek a pasta je tekutá pouze u okrajů trubice.

Roztoky obsahující dlouhé molekulární řetězce mohou vykazovat takzvaný Weissenbergův jev.4) Ponoříte-li do takové tekutiny rotující tyč, tekutina začne po tyči šplhat vzhůru. Dlouhé molekuly se v tomto případě chovají podobně jako špagety navíjené na vidličku a táhnou s sebou zbytek roztoku vzhůru (obr).

Tekuté krystaly jsou samozřejmě také tekutiny, jinak bychom je asi nenazývali tekutými. Tekuté krystaly nicméně mají jednu pro tekutiny neobyčejnou vlastnost – nejsou izotropním materiálem, to jest jejich fyzikální charakteristiky jsou závislé na směru (orientaci).

A co asfalt? Z diskutovaného pokusu je zřejmé, že se jednou může chovat jako pevná látka, to v případě, kdy do něj rychle udeříme kladivem a materiál se rozpadne na drobné střípky. Naopak pokud se zajímáme o pomalé děje, tak v podstatě teče jako každá jiná tekutina.

Všechny výše popsané jevy jsou jevy, které nejsou v principu popsatelné Navierovými- Stokesovými rovnicemi. V Navierových-Stokesových rovnicích není nic, co by mohlo kupříkladu zachytit anizotropii jako v případě tekutých krystalů a podobně. Pokud pro danou tekutinu selhává popis pomocí Navierových-Stokesových rovnic, označujeme tuto tekutinu jako nenewtonovskou. Nabízí se tedy otázka, zda je možné rovnice nějak „spravit“, abychom získali prostředek k matematickému popisu takovýchto podivných materiálů.

Zobecnění Navierových-Stokesových rovnic

Odpověď na položenou otázku se pokusila najít celá řada vědců. Jedním z možných přístupů je vrátit se od Navierových-Stokesových rovnic a popisu v rámci mechaniky kontinua zpět k mikroskopickému popisu materiálů a vypracovat popis materiálů na této nižší úrovni. Takový přístup vypadá slibně. Vždyť dlouhé molekulární řetězce jsme výše označili jako původce Weissenbergova jevu, což nabádá k tomu, že bude vhodné popisovat materiál prostředky, které byly vyvinuté pro popis dlouhých molekulárních řetězců.

Druhý možný přístup je založen na myšlence, že pokud se zajímáme jen o mechanické chování zkoumaného materiálu, musíme se opřít o čistě fenomenologický přístup, který odhlíží od vnitřní struktury materiálu. (Mechanickým chováním máme na mysli kupříkladu charakteristiku rozložení mechanického napětí uvnitř materiálu a podobně.) Vhodného matematického popisu se pak dosáhne tak, že se do Navierových-Stokesových rovnic přidá vhodný nelineární člen, který bude kombinovat rozličné fyzikální veličiny vystupující v makroskopickém popisu, tedy v nejjednodušším případě rychlostní a tlakové pole.

Rozdíl v obou přístupech je zhruba stejný jako rozdíl mezi statistickou fyzikou a termodynamikou. Termodynamiku (popis na vyšší úrovni) lze, s trochou nadsázky, uspokojivě pěstovat i v případě, že netušíme nic o mikroskopické interpretaci tlaku nebo teploty. Stačí vědět, jak uvedené veličiny měřit.

Pokud se skutečně zajímáme pouze o mechanické chování materiálu, zdá se druhý přístup výhodnější, protože v rovnicích vystupují jen ty veličiny, které nás přímo zajímají. Návrh „přidat vhodný nelineární člen“ sice zní zajímavě a jednoduše, ale jeho praktická realizace bude zjevně obtížná. Rozhodně ho nelze realizovat tak, že se do Navierových- Stokesových rovnic budou slepě přidávat všemožné náhodně nebo i systematicky generované nelinearity v naději, že nakonec se prostě musíme trefit.

Ukazuje se, že třídu možných nelinearit lze zásadně zúžit, pokud budeme požadovat, aby výsledné rovnice vedly k rozumnému fyzikálnímu a matematickému popisu. Co to znamená? Pokud by kupříkladu z navrženého zobecnění Navierových-Stokesových rovnic plynulo, že v materiálu samovolně vzniká energie, patrně bychom takovýto model zavrhli jako nepoužitelný. Stejně tak bychom nebyli spokojeni s úpravou, která by byla závislá na volbě souřadné soustavy, a která by tedy porušovala Galileiho princip relativity. (To znamená, že rovnice by vedly k různým předpovědím, pokud bychom výpočet provedli v souřadné soustavě, ve které by byl materiál v klidu, a následně v alternativní souřadné soustavě, která by se vůči prvně jmenované pohybovala rovnoměrně přímočaře.) Další omezení pak plynou z požadavku na zachování materiálových symetrií či z druhého zákona termodynamiky.

Rozumným matematickým popisem máme na mysli matematickou konzistenci daného zobecnění Navierových-Stokesových rovnic. Pokud to není fyzikálně ospravedlnitelné, rovnice by neměly dovolit, aby bylo řešení singulární. To znamená, že například rychlostní pole, které v rovnicích vystupuje jako neznámá, by mělo přinejmenším zůstat spojité. Problém je v tom, že v rovnicích vystupují i derivace rychlostního pole, a pokud by rychlostní pole nebylo spojité, derivace by v klasickém smyslu neexistovaly a rovnice by tak „popřely samy sebe“. Další rozumnou vlastností je jednoznačnost řešení. Pokud by existovalo více řešení, nejspíše bychom usoudili, že k rovnicím bude potřeba přidat nějaké dodatečné, v ideálním případě fyzikálně motivované, kritérium, které z mnoha možných řešení vybere to správné. (Poznamenejme, že i v tak jednoduchém případě, jako jsou Navierovy-Stokesovy rovnice, je matematická teorie neúplná, viz výše.) Je důležité uvědomit si, že fyzikálně korektní model nemusí být nutně matematicky konzistentní a naopak.

O náročnosti uvedeného přístupu svědčí kupříkladu to, že první použitelné plně třídimenzionální rovnice popisující chování takzvaných viskoelastických tekutin (což může být například asfalt) byly navrženy až v druhé polovině minulého století a tato oblast se dále poměrně zásadním způsobem rozvíjí. Zároveň je zřejmé, že cesta k zobecnění Navierových-Stokesových rovnic vyžaduje nejen dobré znalosti fyziky, ale také moderní matematiky.

Záhadou není jen turbulence

Nenewtonovské tekutiny významně rozšiřují pole záhad v klasické fyzice – mechanice kontinua. Kromě dodnes nezodpovězených otázek týkajících se turbulence, což jsou otázky týkající se Navierových-Stokesových rovnic, tak v klasické fyzice existuje i další oblast, která volá po důkladném matematickém a fyzikálním zkoumání.5)

Na rozdíl od poměrně odtažitých fyzikálních problémů v moderních fyzikálních teoriích, jako jsou kvantová mechanika a obecná teorie relativity, však můžeme jevy zkoumané v mechanice kontinua pozorovat doslova bez prostředků. (A pokud toužíte po těžkém matematickém popisu, vězte, že mechanika kontinua se nemá zač stydět.) Mimochodem už jste zkoušeli otáčet tyčí ve vaječném bílku?

Poznámky

1) R. Edgeworth, B. J. Dalton and T. Parnell: The Pitch Drop Experiment, European Journal of Physics, 198–200, 1984.

2) Viz internetové stránky společnosti Improbable research, www.improbable.com/.

3) Pro přesnou formulaci matematického problému viz internetové stránky Clay Mathematical Institute, www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes_Equations/.

4) K. Weissenberg: A continuum theory for rheological phenomena, Nature, 159, 310–313, 1947. Na zajímavá videa narazíte na internetu, stačí zadat do vyhledávače Weissenberg effect.

5) Jen na okraj poznamenejme, že existují lidé, kteří si myslí, že Navierovy-Stokesovy rovnice nejsou klíčem k pochopení turbulence, protože nelinearita v těchto rovnicích je příliš slabá na to, aby mohla vyvolat takové bohatství jevů, jaké pozorujeme. Některé typy nelinearit vyskytující se v rovnicích pro nenewtonovské tekutiny jsou v tomto ohledu mnohem slibnější.

Soubory

článek ve formátu pdf: 201209_502-504.pdf (544 kB)

Diskuse

Žádné příspěvky