Komerční prezentace
Registrace uživatele

Přihlašte se k odběru informací, novinek, získejte přístup do diskuzního fóra.

Vesmír č. 10
Vesmír č. 10
Toto číslo vychází
2. 10. 2017
Novinky
Zdarma jedno celé číslo Vesmíru v pdf.
• Říjnové číslo Vesmíru
reklama

Geometrie, fyzika a Václav Hlavatý

Publikováno: Vesmír 73, 449, 1994/8
Obor: Fyzika

V chronologickém přehledu fyzikálních teorií, které si zaslouží označení „skvostné“ (superb), uvádí Roger Penrose na prvním místě eukleidovskou geometrii.

Dávné geometry by takové zařazení muselo překvapit. Na rozdíl od fyziky, řekli by, geometrie není empirickou vědou. Každé měření má omezenou přesnost a nemůže nás tedy přesvědčit o absolutní pravdivosti postulátů geometrie. Tuto pravdivost vidí matematik vnitřním zrakem. Vidí ji však natolik jasně, že empirie nemůže jeho poznání ohrozit. Kdyby měření nepotvrzovalo Pythagorovu větu, připsali bychom to spíše nedokonalosti našich náčrtů, měřítek a smyslů nežli povaze prostoru.

V jazyce filozofů odpovídá tento názor Kantovu učení o vrozených nazíracích formách a syntetickém apriorním poznání. V době, kdy je Kant formuloval, zrála však již situace k jeho revizi. Po staletích marných pokusů o důkaz 5. postulátu ukázali tvůrcové neeukleidovské geometrie, že je přinejmenším logicky možný jiný geometrický svět, v němž součet úhlů v trojúhelníku je menší než 1800 a bodem lze vést k přímce více než jednu rovnoběžku. Gauss a Lobačevskij si byli vědomi dosahu, který tento objev může mít pro geometrii reálného prostoru. Zvláště jasnozřivě to vyslovil Riemann, který celý problém rozšířil. Lobačevského rovina má s eukleidovskou rovinou společnou nekonečnost, a dále homogenitu a izotropii – je všude a ve všech směrech stejná. V třírozměrném prostoru však můžeme pozorovat a vytvářet zakřivené plochy. Nejprostší z nich, plocha kulová, je homogenní a izotropní, není však již nekonečná. Úlohu přímek na ní přebírají hlavní kružnice (průsečnice koule s rovinou procházející jejím středem). Můžeme však studovat i zakřivené plochy bez jakékoliv symetrie, případně dokonce proměnné s časem. Eukleidovská geometrie na nich zůstává v platnosti jen v dostatečně malém okolí kteréhokoliv bodu. Nabízí se otázka, již kladl Riemann: A proč by tomu tak nemohlo být i s třírozměrným prostorem, v němž žijeme? Nemůže jeho zakřivení souviset s fyzikálními ději, jež se v něm odehrávají, a nemůže být v mikroskopickém či v kosmologickém měřítku zjistitelné měřením?

Již v minulém století se někteří odvážlivci snažili tuto myšlenku rozvíjet. Odráží se to např. v úvahách Poincarého, který soudil, že eukleidovská geometrie je pouhou konvencí, ovšem konvencí natolik jednoduchou a užitečnou, že se jí vždy budeme držet. Jeho vlastní dílo však obsahuje myšlenku, která tento názor pomohla podkopat. Je to myšlenka, kterou bychom mohli nazvat geometrizace času a která se plně rozvinula v práci Minkowského.

V ní byla Einsteinova speciální teorie relativity vyložena jako objev struktury prostoročasu – čtyřrozměrného prostoru událostí, v němž čas hraje úlohu “čtvrté souřadnice“. Vzdálenost dvou událostí v prostoročase – interval – může být časové nebo prostorové povahy, mezním případem je nulová vzdálenost mezi událostmi spojenými světelným signálem. Existence nulové vzdálenosti mezi netotožnými body svědčí o tom, že Minkowského geometrie není eukleidovská, byť prostoročas není zakřiven. Rovnoměrné a přímočaré pohyby částic odpovídající zákonu setrvačnosti jsou v tomto prostoročase přímkami.

I když popsané „zprostorovění času“ bylo napadáno filozofy a některé hluboké problémy povahy času (jeho směr) jím nejsou vyřešeny, pro fyziku se ukázalo nesmírně plodným. Zdálo se, že relativistickému prostoročasu Minkowského je třeba přizpůsobit veškerou fyziku včetně teorie gravitace.

Na této cestě si Einstein uvědomil převratný význam faktu, že všechna tělesa padají v gravitačním poli stejně. Vysvětlil to tím, že jejich pohyb udává přirozené zobecnění přímky v zakřiveném prostoročase – tzv. geodetickou čáru. Gravitace je podle Einsteina zakřivení prostoročasu, působené veškerou látkou a poli, jež se v něm nacházejí – fyzikálně řečeno hustotami a toky jejich energie a impulzu. Souvislost mezi „hmotou“ a “geometrií“ je určena Einsteinovými rovnicemi gravitačního pole, které mají v nové teorii gravitace podobně fundamentální význam jako Maxwellovy rovnice v teorii pole elektromagnetického. Postupně se podařilo nalézt řadu řešení těchto rovnic – některá z nich s bezprostředním vztahem k realitě.

Od svého vzniku až do dneška si Einsteinova teorie gravitace – obecná teorie relativity – proráží cestu od úspěchu k úspěchu. Prvním bylo vysvětlení posunu Merkurova perihelu, k nejnovějším se řadí výsledky pozorování binárního pulzaru, jež byly odměněny poslední Nobelovou cenou za fyziku.

Vznikem obecné teorie relativity ztratila geometrie své zvláštní postavení nauky, jejíž poznatky sice nepodléhají empirickému ověřování, ale jimž se empirická realita – prostor – přesto nutně podřizuje. Geometrie jako by se rozštěpila do dvou věd. Jedna z nich rozvíjí původní smysl slova „geometrie“. Není to však jen „měření země“, ale měření vesmíru v celém jeho rozsahu (včetně jeho dimenze časové). Nástroji tohoto měření nejsou jen metry a úhloměry, ale také kmitající atomy, rotující hvězdy, pohybující se planety a kosmické sondy, světelné a rádiové signály. V tomto smyslu je i eukleidovská geometrie, dokonale platná v rozměrech našich laboratoří, fyzikální teorií.

Na druhé straně geometrie jako součást matematiky studuje své struktury bez ohledu na jejich vztah k empirickému světu. Nemusí to ovšem znamenat úplné popření možnosti syntetického apriorního poznávání. Mnozí matematikové stále chápou svou práci jako nahlížení do jakéhosi ideálního (slovy Penrose „platónského“) světa. Mezi obojí geometrií zůstává ovšem těsná souvislost a spolupráce – struktury objevené matematiky mohou sloužit jako vzor pro chování fyzikálního světa a tento svět naopak dává inspiraci a motivaci pro práci matematiků.

Jednotu obou podob geometrie ztělesňují její velké osobnosti, mezi něž se řadí i profesor Václav Hlavatý. Většina jeho díla náleží čisté matematice. Na sklonku svého života se však pokusil dovršit „Einsteinův sen“ a propracovat poslední verzi jeho unitární teorie pole.

Einstein nepovažoval svou obecnou teorii relativity za dovršenou ze dvou důvodů. Je v ní čistě geometricky vyjádřeno gravitační pole, nikoliv však jeho zdroje, které se zavádějí složitým a nejednotným způsobem. Druhé významné pole makroskopické fyziky – elektromagnetické pole, nemá v teorii zvláštní postavení a není v hlubším vztahu k poli gravitačnímu.

Po více než polovinu svého vědeckého života se Einstein snažil vytvořit jednotnou teorii, která by oba nedostatky překonala. Gravitační a elektromagnetické pole by se v ní spojovaly v jediném matematickém objektu, podobně jako elektrické a magnetické pole již v rámci speciální teorie relativity. Jak kdysi řekl Einstein v optimistickém naladění, pohyb elektronů v atomu by se měl řídit týmiž zákony jako pohyb planety kolem Slunce. Zdroje gravitačního pole (energi e a impulz „hmoty“ všeho druhu) stejně jako zdroje pole elektromagnetického (náboje a jejich proudy) by se nezaváděly zvlášť, ale přirozeně by vyplývaly z teorie.

Tento program se počátkem dvacátých let, kdy jej Einstein vytyčil, zdál být rozumný a slibný. Povzbuzoval k němu úspěch obecné teorie relativity a nevědomost o jiných interakcích, než je gravitační a elektromagnetická. Od počátku byla ovšem zřejmá potíž: neexistoval klíč, srovnatelný s faktem stejného padání těles v gravitačním poli (což je důsledek principu rovnosti hmotnosti tíhové a setrvačné). Experiment ani teorie neukazují na žádnou nápadnou podobnost či souvislost mezi gravitačním a elektromagnetickým polem, z níž by bylo možno vyjít. Einstein se v této situaci spolehl na moc matematiky. Uchovával si víru, že dokonalá matematická struktura v sobě musí tajit i fyzikální pravdu. Promýšlel a neuspokojen opouštěl nové a nové varianty. S rozvojem kvantové teorie se dostával do stále větší izolace, i když se k němu dočasně přidružovali další velcí fyzikové (Weyl, Eddington, Schrödinger) toužící po jednotě fyziky. Na sklonku Einsteinova života a řadu let po jeho smrti hodnotila ovšem většina kolegů jeho úsilí jako donquijotovské podivínství ovlivněné snahou vyhnout se pro něho nepřijatelných důsledkům kvantové mechaniky. Einstein se však do konce života domníval, že v poslední variantě unitární teorie pravděpodobně našel, co hledal. Tuto variantu rozpracoval ve své knize V. Hlavatý.

Abychom naznačili, o co v ní jde, pokusme se přiblížit si pojmy „metrika“ a “konexe“. Dovede nás k nim otázka, co je to (v eukleidovské geometrii) přímka. Lze dát dvě různé, ale správné odpovědi. Přímka je nejkratší spojnice dvou bodů. Přímka je nejpřímější čára, neuchylující se od vytčeného směru. Každá z definic poukazuje na jinou geometrickou strukturu – první na metriku, druhá na konexi.

Metrika umožňuje počítat délky křivek (a také velikosti ploch, objemy, úhly). Je zadána symetrickou maticí čísel gik, jejichž hodnoty jsou v každém bodě prostoru závislé na použitých souřadnicích. Ve čtyřrozměrném prostoročase, kde každý index nabývá čtyř možných hodnot, představuje metrika 10 funkcí souřadnic. Metrika umožňuje definovat geodetické čáry, které jsou přirozeným zobecněním přímky jako nejkratší spojnice dvou bodů v eukleidovské geometrii. Slovo „nejkratší“ musíme ovšem nahradit slovem „stacionární“. Jeho význam přiblížíme pomocí analogie: Mějme nerovný terén (matematicky vzato nadmořskou výšku jako funkci polohy). Stacionárními body terénu (funkce) jsou vrcholy kopců, dna prohlubní a sedla – jejich společnou vlastností je, že malý úkrok z takovéhoto místa téměř nezmění naši výšku. Že geodetická čára v prostoročase může být i nejdelší spojnicí bodů, dokládá slavný „paradox dvojčat“. Bratr nevystavený silovému působení, jehož běh života je zobrazen v Minkowského prostoročase přímkou, je po opětném setkání s bratrem, kterého unášela kosmická loď s raketovým pohonem, starší. Rozdílný věk odpovídá rozdílné délce jejich světočar.

Konexe určuje paralelní přenos vektoru z místa na místo podél dané křivky. Představme si vektor jako silniční ukazatel, který rovnoběžně přesouváme podél kulatého zemského povrchu. Snadno si domyslíme (či ukážeme na glóbusu), že výsledek přenosu závisí na cestě. To je právě důsledek zakřivení povrchu. Konexe je dána svými složkami Γikl závislými opět na souřadnicích. Mají-li se uzavírat malé rovnoběžníky, musí být konexe symetrická v dolních indexech. V prostoročase pak představuje 40 funkcí. Geodetická čára konexe se vyznačuje tím, že je i v zakřiveném prostoru „přímá“ – vektor k ní tečný zůstává tečným i při paralelním přenosu podél ní.

Metrika a konexe mohou být uvažovány jako zcela nezávislé matematické struktury. Požadujeme-li však, aby geodetické čáry metriky byly totožné s geodetickými čarami konexe, je symetrická konexe metrikou jednoznačně určena. Tato situace nastává v obecné teorii relativity. Metrika, z ní odvozená konexe a další struktury dané metrikou a konexí zobrazují všechny aspekty gravitačního pole – potenciály, síly, slapové působení.

Aby uvolnil místo pro elektromagnetické pole, zrušil Einstein omezení spočívající v symetričnosti matice gik. Tím se počet uvažovaných veličin zvýšil o 6, což je právě počet potřebný pro zahrnutí elektromagnetického pole, které je obvykle zadáváno dvěma třírozměrnými vektory elektrické a magnetické intenzity, jež se v teorii relativity spojují ve čtyřrozměrnou antisymetrickou matici. Přestala být požadována rovněž symetričnost konexe a totožnost obou typů geodetických čar. Podmínka pro jednoznačné určení konexe z metriky byla pozměněna, aby dávala 64 složek nesymetrické konexe.

Na tomto základě našel Einstein rovnice, o nichž se domníval, že v sobě obsahují zákony sjednoceného gravitačního a elektromagnetického pole. Jejich souvislost s tím, co empiricky zjišťujeme jako elektromagnetické pole, se mu však již nepodařilo vyjasnit. V tomto směru je formulace Hlavatého podstatným pokrokem.

Hlavatý ve své knize syntetizoval nejen Einsteinovy poslední práce, ale i příspěvky řady jiných autorů a v neposlední řadě své vlastní. „Vydoloval“ z nesymetrické metriky gik elektromagnetické pole (není jím, jak by se na první pohled mohlo zdát, antisymetrická část gik), které splňuje oba páry Maxwellových rovnic a ovlivňuje Einsteinovy rovnice gravitačního pole prostřednictvím proměnné hodnoty gravitační konstanty. Našel, jak z gik určit zdroje gravitačního i elektromagnetického pole, které splňují zákony zachování energie, impulzu a náboje. Ukázal, že pohyb elementů nabité hmoty je zobrazen geodetickými čarami konexe. Tento „zobecněný zákon setrvačnosti“ se z třírozměrného hlediska jeví jako výsledek působení gravitační a Lorentzovy síly. Jistou modifikací původních Einsteinových vztahů dosáhl Hlavatý i toho, že teorie není v rozporu s výsledky klasických testů obecné teorie relativity.

Již tento výčet působí impozantním dojmem. Pouze znalec však ocení intelektuální výkon s tím spojený. Smím-li vyjádřit svůj osobní dojem, jeví se mi jako div nejen to, že úloha byla rozřešena, ale že vůbec řešení má. Na výchozích ryze matematických pozicích se snad něco takového nedalo ani tušit.

Je ovšem třeba říci, že další vývoj fyziky ovlivnila kniha Hlavatého jen minimálně. Těší se sice obecné úctě, ale pouze jako matematický monument, jemuž je možno spíše se z dálky obdivovat nežli jej k něčemu využít. Fyzikální práce o teoriích s nesymetrickou metrikou se ovšem objevují až do nejnovější doby, jejich autoři se však zřekli snahy o zahrnutí elektromagnetického pole a snaží se pouze modifikovat Einsteinovu teorii gravitace. Tento osud Hlavatého teorie by se dal stručně komentovat tím, že příroda není povinna se řídit lidskými teoriemi. Dalo by se dodat, že ani po matematické stránce se tato teorie nevyznačuje přesvědčivou elegancí a prostotou, kterou má obecná teorie relativity, a že už v době jejího vzniku bylo patrné, že k cíli sjednoceného popisu všech interakcí se touto cestou nedojde. Přesto si myslím, že nové fyzikální zhodnocení teorie z odstupu tří desetiletí by si Hlavatý od nás zasloužil. Jeho výročí snad dá k takovému přezkoumání podnět.

Během této doby se Einsteinův sen probudil k novému životu. Dnes by sotva někdo zpochybňoval velikost a prozíravost záměru sjednotit fyziku. Převládá ovšem názor, že Einstein začal rozplétat uzel na místě pro začátek nejméně vhodném. Bude-li sjednocení někdy dovršeno, pak spojení gravitace s jednotnou teorií zbývajících interakcí by mělo být až posledním, nejtěžším krokem.

A jak je tomu s nadějí, že cestu k sjednocení ukáže geometrizace fyziky? Jednoznačná odpověď je obtížná i proto, že dříve vylíčeným „rozdělením“ geometrie mezi fyziku a matematiku se její přesné vymezení vůči fyzice – stejně jako vůči matematice – rozostřilo. Přesto by se asi dalo dosáhnout určité shody názorů na to, co je „geometrické“: jsou to ideje a metody vycházející z geometrických tradic a podržující si onu zvláštní prostotu a názornost, která je činí přístupnými nejen čistě formální analýze, ale i intuitivnímu vhledu. S takovými idejemi a metodami se setkáváme na mnoha větvích cesty fyziky k jednotě, ať už je to geometrodynamika, superstruny, kalibrační teorie či vytváření stále rozsáhlejších grup symetrie pro sjednocené interakce.

V tom všem je živ duch velkých geometrů.

Literatura

V. Hlavatý: Geometry of Einstein’s Unified Field Theory, P. Noordhoff LTD, Groningen, Holland 1957
A. Einstein: Sobranije naučnych trudov II, Nauka, Moskva 1966
H. Poincaré: O nauke, Nauka, Moskva 1983
E. Schrödinger: Space-Time Structure, Cambr. Univ. Press, Cambridge 1950
A. P. Norden (vydavatel): Ob osnovanijach geometrii, GITL, Moskva 1956
R. Penrose: The Emperor’s New Mind, Oxford University Press, Oxford – New York, 1989

Metrika a konexe

Element křivky můžeme uvažovat v rovině s kartézskými souřadnicemi. Kvadrát jeho délky je podle Pythagorovy věty

ds2 = dx2 + dy2.

Vektor A paralelně přenesený podél elementu křivky nezmění své kartézské komponenty

dAi = Ãi – Ai = 0.


Uvažme stejnou situaci v křivočarých souřadnicích. Pak ds2 je kvadratickou funkcí přírůstků souřadnic

ds2 = gik dxi dxk; gik = gki

dAi závisí lineárně na komponentách vektoru i na přírůstcích souřadnic

dAi = –Γikl Ak dxl; Γikl = Γilk

(opakování indexu znamená součet přes obě možné hodnoty, složky metriky gik i konexe Γikl závisí na souřadnicích).

Oba poslední vztahy určují složky metriky a konexe i ve vícerozměrných zakřivených prostorech. (V prostoročase může být ds2 i záporné či nulové v závislosti na typu křivky.) Identičnost geodetických čar konexe a metriky (popř. jiná ekvivalentní podmínka) umožňuje vypočítat konexi z metriky. Z funkční závislosti složek konexe je možno rozpoznat, zda a jak je prostor zakřiven. V obecné teorii relativity metrika gik popisuje gravitační pole.

Unitární teorie Einsteina a Hlavatého ruší podmínku symetričnosti metriky a konexe, aby rozšířila počet proměnných a umožnila tak zahrnout elektromagnetické pole. Nesymetrická část metriky neovlivňuje délky křivek, a tudíž ani geodetické čáry. Rovněž nesymetrická část konexe neovlivňuje geodetické čáry konexe. Pro jednoznačné určení konexe metrikou se proto hledá jiná podmínka.



Ukázka matematických problémů řešených v knize Václava Hlavatého


Toto je soustava rovnic pro určení složek konexe Γaij z metriky a jejích prvních derivací podle souřadnic xj . Čtenář znalý diferenciální geometrie si povšimne změněného pořadí indexů v posledním členu oproti běžné podmínce kovariantní konstantnosti metriky. Tato změna umožňuje, aby soustava rovnic měla právě jedno řešení (pomineme-li singulární případy). Jde o soustavu 64 nehomogenních algebraických rovnic pro 64 neznámých. Hlavatý věnuje mnoho stran přehledné reprezentaci jejich řešení, což podle jeho vlastních slov „rozhodně není snadný úkol“.

Diskuse

Žádné příspěvky