Komerční prezentace
Registrace uživatele

Přihlašte se k odběru informací, novinek, získejte přístup do diskuzního fóra.

Vesmír č. 10
Vesmír č. 10
Toto číslo vychází
2. 10. 2017
Novinky
Zdarma jedno celé číslo Vesmíru v pdf.
• Říjnové číslo Vesmíru
reklama

Chudí a bohatí: triky a pověry

Jak je rozděleno bohatství ve společnosti
Publikováno: Vesmír 80, 490, 2001/9

K majetkové nerovnosti lze přistupovat různě. Někdo bude vysvětlovat a posvěcovat status quo vyššími ideologickými principy, jiný zapojí jiné vyšší principy do služeb ekonomické transformace, která má s dosavadní praxí skoncovat a přinést nové, spravedlivé a fungující rozdělení bohatství. Vědecký přístup se snaží příliš se do ideologické mely nezamíchat a brát bohatství a chudobu jako přírodní jevy, které chceme fenomenologicky popsat a jejich mechanizmus matematicky modelovat.

Nejdříve se tedy musí provést statistická analýza bohatství ve společnosti. Jako první se do takové analýzy pustil Vilfredo Pareto, a to již roku 1897 ve svém Kurzu politické ekonomie. Šlo mu o to zjistit, jak velká část obyvatelstva patří do jednotlivých příjmových kategorií. Jelikož roční příjem každého občana lze (teoreticky) snadno zjistit podle toho, kolik zaplatí na daních, lze údaje z finančních úřadů velmi pohodlně využít k statistice příjmů. Rozdělíme si například občany České republiky do škatulek odstupňovaných po 10 000 Kč ročního příjmu, takže první škatulka bude zahrnovat všechny, jejichž příjem je od 0 do 10 000 Kč, druhá všechny s příjmem od 10 000 do 20 000, patnáctá od 140 000 do 150 000 atd. Funkce P(x), pravděpodobnostní hustota, bude říkat, jaká je relativní četnost lidí v x-té škatulce.

Výsledek, ke kterému dospěl Pareto a po něm i další, byl překvapivý: Ve všech studovaných zemích a časových obdobích, po dobu dlouhých a bouřlivých sta let (jak konstatovali ve svém článku z roku 1997, tedy právě 100 let po Paretovi, Moshe Levy a Sorin Solomon) se matematická funkce popisující rozložení bohatství téměř nemění. Pravděpodobnostní hustota má tvar mocniny, čili P(x)=x. Tato závislost se na počest svého objevitele nazývá Paretův zákon.

Proč je právě taková funkce tak zajímavá? Souvisí to se zájmem o fraktální objekty, tj. takové, které se skládají ze stále se opakujících, zmenšujících se do sebe vložených tvarů, jaké vytvářejí například obrysy listů kapradin, ledové květy na oknech a jiné. Tyto geometrické tvary se vyznačují tím, že když z nich vyřízneme detail, a pak jej zvětšíme do velikosti původního obrázku, dostaneme tentýž tvar (alespoň v pravděpodobnostním smyslu). Matematicky je tato vlastnost, nazývaná též škálová invariance neboli soběpodobnost, popsána pouze a jedině mocninnou funkcí. Plyne z toho tedy, že rozložení bohatství ve společnosti má fraktální rysy.

Lze si to názorně představit tak, že na velmi podrobné mapě České republiky zakreslíme kolečko v místě bydliště každého našeho dospělého občana. Velikost kolečka bude přímo úměrná jeho majetku. Většina koleček bude nepatrných, o něco méně bude větších koleček a porůznu se budou vyskytovat jednotlivá obrovská kola. Paretův zákon pak znamená to, že soubor všech koleček viděný jako geometrický útvar je fraktální objekt. (Další příklady výskytu fraktálů ve společenských vědách najdete v rámečku.)

To však není konec historie Paretova zákona, ale teprve začátek. Po čase se přišlo na to, že s jeho platností je to nějak podivné, a ve třicátých letech byl dokonce odsouzen jako pověra, která v seriózní vědě nemá co dělat. Objevitel fraktálů Benoît Mandelbrot (viz Vesmír 67, 458, 1988/8) v šedesátých letech navrhl používat jej pouze pro nejvyšší příjmové skupiny. To se nakonec ukázalo jako rozumný kompromis.

Ona Paretova pověra má totiž tuhý kořínek a mocninný zákon rozdělení bohatství byl pozorován znovu a znovu, nedávno například v již zmíněné práci Leviho a Solomona, kteří studovali soubor 400 (údajně) nejbohatších Američanů. Mocninné rozdělení se skvěle potvrdilo, s hodnotou exponentu α = 2,4. V čem je tedy zakopaný pes? V tom, že se statistický soubor týkal opravdu jen té nepočetné nejvyšší příjmové skupiny. Jestliže se díváme na to, jak je bohatství rozděleno v celé společnosti, budou výsledky diametrálně odlišné (za chvíli uvidíme jak). Paretův zákon je tedy jakýsi trik: Místo abych se ptal, jaký majetek má náhodně vybraný občan, ptám se, jak velké jsou ty největší majetky. Vyjádřeno poněkud expresivně, je Paretův zákon statistikou zazobanosti a lidé s běžnými majetky se do něj nevejdou.

Jak je to tedy s rozdělením bohatství ve většině společnosti? Nedávné studie, které prováděli A. Dragulescu a V. M. Yakovenko s pomocí dat veřejně přístupných na internetu, ukazují, že pro 95 % populace neplatí Paretův zákon, ale distribuce majetku a příjmů má tvar exponenciální funkce, P(x)=e–x/R. Parametr R udává průměrný majetek ve společnosti. Jelikož Dragulescu a Yakovenko jsou původně fyzikové, 1) rozpoznali v této funkci okamžitě slavnou Boltzmannovu distribuci energie v rovnovážném stavu. Bohatství x hraje roli energie a parametr R odpovídá teplotě. Ve fyzice je Boltzmannovo rozdělení nevyhnutelným důsledkem toho, že energie je aditivní veličina (energie celku je rovna součtu energií částí) a že se zachovává (odnikud nepřibývá a nikam se neztrácí, jen se neustálým chaotickým pohybem molekul přerozděluje). Odtud již nebylo daleko k myšlence, která se pak vtělila do matematického modelu a která říká, že příčinou exponenciální distribuce majetku je jakýsi „zákon zachování bohatství“, totiž že v ekonomické soutěži jeden získává vždy na úkor druhého. Jinak řečeno, úspěch není dán tím, že jsem prostě vyrobil více, ale že jsem zvítězil díky své chytrosti, informacím, lepšímu managementu atd. atd. ve hře s nulovým součtem. Myšlenka „zákona zachování úspěchu“ v ekonomii není tak bizarní, jak by se mohlo zdát: podstatným rysem kapitalizmu je přece to, že limitujícím faktorem není schopnost výrobce produkovat, ale schopnost zákazníka konzumovat. Není-li možné drasticky zvyšovat intenzitu konzumu (například není snadné přimět lidi, aby sledovali reklamu na dvou televizních stanicích zároveň), zůstává zde pouze každodenní nemilosrdný boj o omezené zdroje konzumentů.

Přesto však ekonomická hra není tak bezútěšná. Kdyby byla opravdu hrou s nulovým součtem, tedy výhra jednoho by se přesně rovnala ztrátě druhého, snadno by mohla nastat situace, kdy by hráči prostě odmítli hrát a systém by se zhroutil. Ve skutečnosti jde o hru s pozitivním součtem, tedy zisk jednoho je vždy větší než ztráta druhého. A pokud věřím, že kapitalizmus je spravedlivá sázka na náhodu, jsem optimistou, věřím, že můj součet bude nakonec kladný. Přeložíme-li si tuto vlastnost zpět do řeči fyziky, máme tu otevřený systém, do něhož přitéká energie, zákon zachování tedy neplatí. Nyní již nemáme zaručeno, že rozdělení bude exponenciální podle Boltzmannova zákona. Když ale srážky částic budou velmi časté, když se energie bude rychle vyměňovat neboli systém se rychle termalizuje, bude exponenciální Boltzmannovo rozdělení dosti přesně platit, i když se energie nezachovává. A totéž budeme očekávat v ekonomickém modelu: Je-li ekonomická aktivita natolik intenzivní, soutěžení natolik tvrdé, že se bohatství rychle vyměňuje mezi jednotlivými aktéry, firmy vznikají a zanikají jako na běžícím pásu, pak ten fakt, že se bohatství ve skutečnosti nejen přelévá, ale také vytváří, nebude hrát podstatnou roli. Přirozeně má naprosto zásadní roli pro to, aby se systém udržel v chodu, ale neovlivní matematickou funkci popisující distribuci bohatství.

Zdá se tedy, že Draguleskův a Yakovenkův model zdárně popisuje, co se děje s oněmi 95 % obyvatel kapitalistického světa. Zbývá nám ona nejbohatší smetánka, kde se Paretův zákon pevně uchytil. I zde se objevily matematické modely vysvětlující mechanizmus, jak mocninné Paretovo rozdělení vzniká, a to hned od několika soupeřících vědeckých týmů. Jejich matematická struktura je pro laika poněkud temná, dá se však zjednodušit následovně: Nemáme zde žádný zákon zachování, právě naopak, bohatství vzniká z ničeho a narůstá právě tím rychleji, čím bohatší kdo je. Je to přesně jako v Bibli, kdo má, tomu bude přidáno. Zároveň ale připouštíme, že někdo může i zchudnout, když například špatně investoval do akcií, ale i pak je podstatné, že jeho ztráta je tím větší, čím větší majetek má. Je to jako ve hře, kde v každém kole je váš majetek vynásoben náhodně vylosovaným číslem. Je-li to číslo větší než jedna, máte zisk, je-li menší než jedna, máte ztrátu. Říká se tomu multiplikativní náhodný proces. Přirozeně, bohatství ve skutečnosti nevzniká z ničeho, ale z investic. Každá investice má jinou návratnost, některá je i ztrátová, vždy ale předpokládáme, že investor vkládá částku úměrnou jeho momentálnímu bohatství.

Tento proces však ještě ke vzniku Paretova zákona nestačí. Zásadní roli zde hraje přerozdělování majetku pomocí daní nebo jiného mechanizmu. Klesne-li něčí majetek pod zvolenou mez – hranici chudoby – obdrží jedinec podporu placenou z daní těch ostatních. Tyto dva principy, totiž že změna bohatství je úměrná nynějšímu bohatství a že nikoho nenechají zemřít hlady, již automaticky vedou k Paretovu zákonu. Na rozdíl od předchozího případu kapitalistické soutěže, kdy platil exponenciální zákon, připomíná tento model spíše rozvětvený klan rentiérů a burzovních hráčů, které rodina pokaždé vytáhne z bryndy, když dluhy příliš narostou.

Ať už uvedeným modelům věříme nebo ne, faktem zůstává, že statistika bohatství dokáže identifikovat dva výrazně odlišné režimy: exponenciální pro naprostou většinu obyvatelstva, nacházející se v nižších příjmových sférách, a mocninný platící pro ty nejbohatší. Toto chování se pravidelně opakuje na mnoha místech zeměkoule, není tedy jen jakousi náhodou, ale musí skrývat nějakou zákonitost. Přesněji zákony dva, jeden pro většinu, jiný pro majetnou menšinu. Tyto dvě skupiny pravděpodobně přicházejí k majetku odlišnými způsoby. Možná jsme tady u dělení společnosti podloženého kvantitativní analýzou, přičemž společnost se dělí na vrstvy, z nichž každá má své vlastní mechanizmy fungování. Ideologii jsme tedy nakonec neunikli, ale přece jen je snad lepší ideologie poučená než slepá.

Literatura

M. Levy, S. Solomon: New evidence for the power-law distribution of wealth, Physica A, 242, 90, 1997
A. Dragulescu, V. M. Yakovenko: Evidence for the exponential distribution of income in the USA, cond-mat/0008305

Poznámky

1) O aplikacích fyziky v ekonomii viz Vesmír 79, 369, 2000/7.

FRAKTÁLY Ve společenskýCH VĚDÁCH

Jak už jsme se zmínili, pravděpodobnostní rozdělení ve tvaru mocniny má pro fyziky přitažlivost kvůli své spojitosti s fraktální geometrií. Kromě toho je tady souvislost s fázovými přechody, kdy totiž právě v kritickém bodě na hranici fází dochází pravidelně k vzniku soběpodobných, fraktálních tvarů. Spontánním vznikem fraktálů v přírodě se zabývá teorie samoorganizovaného kritična (viz Vesmír 76, 283 a Vesmír 76, 545, 1997/5 a 10). Hlavním znakem samorganizovaného kritického stavu je právě mocninné pravděpodobnostní rozdělení. Fyzikové tedy zajásali, když zjistili, že již r. 1949 publikoval George K. Zipf své studie ukazující mocninné rozdělení v různých oblastech lidské činnosti. Zdálo se, že samoorganizované kritično je univerzální teorie, spojující jak přírodní, tak společenské jevy. Jde například o statistiku velikostí měst a frekvenci, s níž se v textech používají jednotlivá slova. Zejména tato poslední aplikace je nyní v centru pozornosti kvantitativní lingvistiky (viz www.santafe.edu/sfi/publications/Working-Papers/00...): Relativní počet slov ve slovní zásobě, jejichž frekvence, s jakou se vyskytují v textu, je f, udává formule P(f) = 1/f, neboli mocninný zákon s exponentem 1. Tato formule přitom obdivuhodným způsobem nezávisí na tom, o kterého autora jde a v kterém století působil. Totéž se zjistilo analýzou děl W. Shakespeara, Ch. Darwina nebo R. L. Stevensona. Zřejmě tedy máme co dělat s obecnou zákonitostí toho, jak lidské bytosti používají jazyk. Pokud jde o kvantitativní lingvistiku, počátkem tohoto roku byla publikována nová překvapivá analýza sítě vazeb mezi jednotlivými slovy. Ukázalo se, že pravděpodobnostní rozdělení počtů vazeb (tedy četnost slov, která se mohou vázat se zadaným počtem jiných slov) je dáno opět mocninným zákonem. Existuje tedy jakási fraktálnost, soběpodobnost nejenom v četnosti jednotlivých slov, ale i ve způsobu, jak se spojují a tvoří význam.

Nemůžeme zde jmenovat všechny další obory, v nichž se mocninná rozdělení nalezla. Zmiňme se namátkou o scientometrii, kde mocninné rozdělení vykazuje jak počet článků na jednoho autora, tak počet citací na jednu vědeckou práci. Jinou oblastí, dnes ostře sledovanou, je geometrie internetu, respektive WWW: kdo bude dnes mít lepší znalosti o struktuře webu, ten bude zítra vlastnit rychlejší vyhledávací službu. Kdo by nechtěl přetrumfnout Google? A zdá se, že mocninné rozdělení a soběpodobnost je základním rysem, kterým se web vyznačuje.

F. S.

Soubory

Článek ve formátu PDF: 2001_V487-493.pdf (1 MB)

Diskuse

Žádné příspěvky